Cette rue doit son nom à la présence de l'Institut Saint-Jean-Bosco, ouvert en 1927, alors l'un des principaux centres des Frères des écoles chrétiennes en Amérique du Nord. Le nouvel établissement s'inscrit dans la continuité de l'œuvre de l'abbé Georges Philippon, qui, 10 ans auparavant, fondait à Québec le Refuge Don Bosco afin d'offrir un gîte aux garçons de milieux modestes et aux jeunes délinquants, tout en leur permettant d'apprendre un métier. L'abbé Philippon est inspiré par l'action de saint Jean Bosco, dit don Bosco (1815-1888), un prêtre italien de milieu pauvre qui a voué sa vie à l'éducation des adolescents désœuvrés des quartiers populaires.

Ancien toponyme
La rue Saint-Jean-Bosco portait initialement le nom d'avenue Saint-Jean-Bosco, adopté vers 1953.