Ce toponyme a été adopté dans le cadre de l'harmonisation des noms de rues, rendue nécessaire par le regroupement municipal du 1er janvier 2002. Il a été proposé par Les Descendants des Fréchette inc., famille liée aux Côté.

Jean Côté (1603-1661), qui serait originaire de Mortagne au Perche, en France, débarque à Québec en 1635 avec un groupe de compatriotes. L'année de son arrivée, il épouse Anne Martin (vers 1603-1684), avec laquelle il aura huit enfants. À cette époque, Charles Huault de Montmagny (vers 1583-1653), lieutenant général de la Nouvelle-France, concède des terres dans les environs immédiats de Québec afin d'y favoriser le peuplement. C'est ainsi qu'en 1636 Jean Côté obtient une parcelle sur la Grande Allée. Il choisit néanmoins de s'installer à Beauport, dans la seigneurie de Robert Giffard, peut-être à l'instigation de Noël Langlois qui y habite déjà. Les familles de colons tendent en effet à se regrouper, soit dans la même maison, soit sur des propriétés contiguës, pour mieux se défendre contre les incursions des Iroquois. Langlois cède donc à Jean Côté une parcelle de sa terre pour qu'il puisse s'y construire une maison. En 1645, Robert Giffard voit à officialiser les titres de propriété par un acte notarié. Jean Côté vend sa terre de la Grande Allée en 1652. Il finira ses jours à Beauport.

Jean-Baptiste-Augustin Côté (1737-1776), un descendant de Jean Côté, meurt en 1776. Sa veuve, Marie-Madeleine Bergeron (1742-1788), se remarie en 1777, à Saint-Antoine-de-Tilly, avec François-Xavier Fréchette (vers 1731-1815), célibataire de 46 ans. Au décès de Marie-Madeleine, les enfants qu'elle a eus avec son premier mari seront élevés par François-Xavier. Ils prendront le nom de Côté dit Fréchette et, finalement, celui de Fréchette. Leurs descendants formeront ainsi l'une des souches de la grande famille Fréchette.

Ancien toponyme
Le carré Jean-Côté portait à l'origine le nom de carré Côté, adopté le 6 juin 1977, en l'honneur du Dr Raymond-Marie Côté, l'un des promoteurs qui ont procédé au lotissement du secteur dans les années 1970. De 1968 à 1972, le Dr Côté est maire de la municipalité de Sainte-Thérèse-de-Lisieux, aujourd'hui dans l'arrondissement de Beauport.